数学问题、数学猜想与数学发展

数学问题与数学猜想是数学发展的力量源泉而数学家们在解决这些问题（猜想）的过程中所表现出的那种坚忍不拔的精神更是给人们，给历史留下了许多宝贵的物质的、精神的财富.数学上的问题和猜想实在太多了，希乐伯特的23个问题在数学界几乎路人皆知.1976年，在美国伊得诺斯大学的一次国际会议上，曾提出了200多个问题和猜想.

§1   关于数学猜想

若无某种大胆放肆的猜想，一般是不可能有知识的进展的.

                                               ——高斯

一、数学猜想的类型

数学猜想作为一种科学方法和思维形式，大致可划分为三种类型.

1.存在型猜想；2.规律型猜想；即指内容是揭示规律性的那些数学猜想. 3．方法型猜想；即指内容是阐述解决问题的方法与途径的那些数学猜想。

二、数学猜想的特征 

因为数学猜想是一种数学的潜形态，所以作为潜形态表现与显形态不同的一些特征.这些特征表现为：1.真伪的待定性；2.思想创新性；3.目标的具体性；数学猜想的创新也表现在揭示新的规律上。

三、数学猜想的意义

如前所述，数学猜想是解决数学理论自身矛盾和疑问的一个有效途径.  研究它，对数学理论的发展有着极其重要的意义.

1.数学猜想的研究可丰富数学理论

具体表现在：

第一、假若某个数学猜想最后被证明是正确的，那么它就转化为数学理论.从而丰富了数学内容.

第二、即使某个数学猜想未获得最后解决，但在研讨的过程中，却往往创造出一些意想不到的理论成果.

第三、虽然某个数学猜想被否定了，但在否定的过程中，却有时发现一些其它方面的数学理论.

2、数学猜想的研究促进数学方法论的研究

这也是研讨数学猜想的重要意义之一.

下面介绍几个著名的数学猜想.他们在数学发展史上被认为是数学皇冠上的明珠.灿烂夺目.

§2费马猜想（费马最后定理） 

一、关于费尔马 

费尔马（Fermatde P.1601-1665）法国数学家，物理学家.彼埃尔·费尔马是十七世纪最卓越的数学家之一.1601年8月20日，出生在法国南部的土鲁斯附近的博蒙——德洛马湿，

二、费马猜想 

毕氏定理：直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方：x²+y²=z²

这是一个古老的数学定理，它有熟知的正整数解（3，4,  5）.所有的正整数解都可以写出来.称之为勾股定理.那么人们自然会问：如果把这里的平方改成立方，四次方，一般地n次方是否仍有正整数解呢？

十九世纪二十年代，许多法国数学家和德国数学家们试图证明FLT.

1823年，七十一岁高龄的勒让德给出了n=5情形的证明；

1832年，狄利克雷给出了n=7情形的证明；

1844-1857年，库麦证明了n<100的情形，一直这样下丢，关于FLT对于一些指数n成立，但是对于任意的n还没有被证明.

悬案十万马克奖金 

1823年和1850年，法国科学院曾先后两次提供金质奖章和三千法郎奖金，奖励证明FLT的数学家，1856年的鉴定人有柯西，刘维尔，拉梅，伯传德和沙尔.

布鲁塞尔科学院也以重金悬赏.

1908年德国达姆施塔特城的数学家佛尔夫斯克尔遗言，把十万马克的巨款赠给哥廷根皇家科学院.有一个附加条件，将款项作为奖金授给第一个证明FLT的人.按照哥廷根皇家科学院的决定，这种证明必须在一种杂志上或者作为单行本发表，这项奖金限期为100年，到2007年取消.在奖金发出之前，所得利息用来奖在数学上做出重大贡献的人.

然而，在过了360多个春夏秋冬，

FLT才由英国数学家怀尔斯证明

（Andrew John）

300多年后的1994年9月，维尔斯证明了费马大定理

怀尔斯其人其事

1、关于怀尔斯 

怀尔斯是英国数学家，1953年4月11日生于英国剑桥，由于他在数论及相关领域的杰出贡献，于1998荣获菲尔兹特别贡献奖.时年45岁.他是迄今为止唯一荣获此奖的40以上的数学家1996年，他还荣获了奥尔夫奖，时年43岁.他也 是迄今为止获得此奖的数学家中最年轻的一位.

怀尔斯1971年进入牛津大学学习.

1974年获得学士学位.同年，进入剑桥大学攻读博士.

1977年获博士学位.其后任克莱尔学院的初级研究员和美国哈佛大学的本杰明、皮尔斯助理教授.

1981年赴德国波恩大学任理论数学访问教授，同年末去普林斯顿高等研究院任研究员.

1982年起任普林斯顿大学教授.

1988-1990年任英国皇家学会设在牛津大学的研究教授

1994年起任普林斯顿大学尤金·希金斯讲座教授

1989年当选为英国皇家学会会员.

1996年当选为美国国家科学院外籍院士.

2、登山者的足迹 

数学家阿蒂亚说：“费马猜想扮演了类似珠穆朗玛登山者所起的作用……”. 怀尔斯10岁时，在剑桥一个公共图书馆看到一本书上提到费马猜想，就立刻为之心驰神往.并花了不少时间和精力试图证明这个猜想.虽然没有成功，但费马猜想却深深地印入了他的脑海.并促使他爱上了数学.立志要做一个数学家，要致力于证明费马猜想.

当成了一名职业数学家后，他才懂得了要证明费马猜想这类难题只有激情是远远不够的.还必须有坚实的数学基础和顽强的毅力. 

怀尔斯是一个安静腼腆的人.脸上总是带有微笑.他多年深居简出，潜心研究数学问题.并被誉为解决难题的能手.这次他对费马猜想的证明就是建立在近十年来许多人工作基础上的.1986年，他在证明方面已经做出了一系列重要工作.就在利贝证明了弗雷构思的一月之后，怀尔斯在一个朋友家里在饮冰茶时知道了这个消息，感到了极大的震动.

后来他回忆说：“我记得那个时候，那个改变我生命历程的时刻，因为这意味着为了证明费马猜想，我必须做的一切就是证明谷山——志村猜想”，从那天起怀尔斯放弃了所有的与证明TS猜想无关的研究，决心不参加任何学术活动.除了教书以外，回避一切分心的事情.

经过5年奋斗后，到1991年的夏天，感到需要重返数坛.了解数学界最新成果.他参加了在波士顿举行的国际数论会议.这次出山，他了解了许多新的方法，新技术.1993年6月23日是怀尔斯生日，也是在这一天，这在演讲中宣布他证明了FLT.

这是一个令人心醉的时刻.E-mail在全球飞驰，全世界的报纸都在大力宣传说：“这个貌似简单，却曾使许多人求索而久攻不下的难题，终于土崩瓦解了.”

3、有惊无险 

怀尔斯证明了费马大定理，对于这个“世纪性的成就”宣传的热潮一浪高过一浪.People杂志还将他和戴安娜王妃，Michael Jackson,克林顿总统等一起列为“本年度25位最有魅力的人物”之一.

然而宣传的热潮还未来得及降温，11月15日，他的老师柯兹证实怀尔斯的论文有漏洞.

12月4日，怀尔斯向数学界发了一个电子邮件，承认了证明中的漏洞；但信中说：“鉴于我关于TS猜想和费马大定理的工作情况的推测，我将对此作一简要说明，在审稿过程中，发现了一些问题，绝大多数都已经解决了.但是其中一个特殊问题我至今仍未解决……我相信在不久的将来，我将用我在剑桥演讲时说的想法解决这个问题.”

西方新闻媒介大都对此表达了宽容.当他说其中出现一些漏洞时，对此事的报道并没有像先前那样放在显著的地位.并肯定工作大大打破了世界纪录.尤其是1994年8月，在瑞士苏黎士召开的国际数学家大会上，怀尔斯还应邀作了最后一个大会报告.而且受到热烈的掌声.肯定了他部分地证明了TS猜想.和其他方面对数论的重要贡献.

好在黑暗的日子并没过多长！

1994年10月14日，怀尔斯又一次将他的108页的论文《模曲线和费马大定理》送交当代最权威的数学杂志——普林斯顿的《数学年刊》.不出半年

1995年5月，《数学年刊》用一期发表了他的论文

1996年3月，怀尔斯站到了沃尔夫奖领奖台，费马大定理最终成为一个真正的定理.怀尔斯也真正笑到了最后。 

安德鲁·怀尔斯因成功破解“费马大定理”而闻名于世。这个最著名的数学难题困惑了世界数学界长达3个多世纪，最终由安德鲁·怀尔斯完成了全部证明，他因此成为数学界的“诺贝尔奖”———“菲尔茨奖”惟一的特别奖获得者，并荣获“沃尔夫奖”。

4、故事还没有结尾历时300多年的费马大定理因为怀尔斯的努力宣布结束，然而，世界上的数学谜们不必担心没有事可做，更不必有失落感.

现在的未解之谜是：3）孪生素数到底有多少对？

关于素数的谜，还有哥德巴赫猜想.即：

4）每一个偶数都可分解为两个素数之和，你能判断它是真的还是假的？